análisis de alineación

Cách tìm tập xác định của hàm số (hay, chi tiết)

Bài viết Cách tìm tập xác định của hàm số với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm tập xác định của hàm số.

1. Phương pháp giải

Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.

2. Bài tập tự luyện

Ví dụ 1:

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = \frac{x^{2} + 5}{x^{2} + 3 x - 4}$

b) $y = \frac{2 x + 3}{(x + 1)(x^{2} + 5 x + 6)}$

c) $y = \frac{2 x^{2} + 3 x + 2}{x^{3} + x^{2} - 5 x - 2}$

d) $y = \frac{x + 6}{(x - 1)^{2} - 2 x^{2}}$

Hướng dẫn:

a) ĐKXĐ: $x^{2} + 3x - 4 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1$ và $x \neq -4$. Suy ra tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{1; -4\}$.

b) ĐKXĐ: $(x+1)(x^{2}+5x+6) \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -1$, $x \neq -2$, $x \neq -3$. Suy ra $D = \mathbb{R} \setminus \{-1, -2, -3\}$.

c) ĐKXĐ: $x^{3} + x^{2} - 5x - 2 \neq 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq 2 \\ x \neq \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2} \end{cases}$. Suy ra $D = \mathbb{R} \setminus \{2; \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}\}$.

d) ĐKXĐ: $(x-1)^{2} - 2x^{2} \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{7}}{2}$ và $x \neq \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{7}}{2}$. Suy ra $D = \mathbb{R} \setminus \{\frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{7}}{2}; \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{7}}{2}\}$.

Ví dụ 2:

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

Hướng dẫn:

a) ĐKXĐ: $2x-1>0$ và $x-3 \neq 0$. Suy ra tập xác định của hàm số là $D = (1/2; +\infty) \setminus \{3\}$.

b) ĐKXĐ: $x+2 \geq 0$ và $x(x-2) \neq 0$. Suy ra $D = [-2; +\infty) \setminus \{0; 2\}$.

c) ĐKXĐ: $5-3|x| \geq 0$ và $x^{2}+4x+3 \neq 0$. Suy ra $D = [-5/3; 5/3] \setminus \{-1\}$.

d) ĐKXĐ: $x^{2}-16 > 0$. Suy ra $D = (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$.

Ví dụ 3:

Cho hàm số $y = \sqrt{2 x - 3 m + 4} + \frac{x}{x + m - 1}$ với m là tham số.

a) Tìm tập xác định của hàm số theo tham số m.

b) Tìm m để hàm số xác định trên (0; 1).

Hướng dẫn:

a) ĐKXĐ: $\begin{cases} 2x - 3m + 4 \geq 0 \\ x + m - 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq \frac{3m-4}{2} \\ x \neq 1-m \end{cases}$. Suy ra tập xác định của hàm số là $D = [\frac{3m-4}{2}; +\infty) \setminus \{1-m\}$.

b) Hàm số xác định trên $(0;1)$ $\Leftrightarrow (0;1) \subset [\frac{3m-4}{2}; 1-m) \cup (1-m; +\infty)$. Giải hệ điều kiện: $\frac{3m-4}{2} \leq 0$ và $1-m \geq 1$ hoặc $\frac{3m-4}{2} \leq 0$ và $1-m \leq 0$ ... Kết quả: $m \in (-\infty; 1] \cup \{2\}$.

Ví dụ 4:

Cho hàm số $y = \sqrt{2 x - 3 m + 4} + \frac{x}{x + m - 1}$ với m là tham số.

a) Tìm tập xác định của hàm số khi m = 1.

b) Tìm m để hàm số có tập xác định là $[0; +\infty)$.

Hướng dẫn:

a) Khi $m=1$, ĐKXĐ: $\begin{cases} 2x - 3(1) + 4 \geq 0 \\ x + 1 - 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x + 1 \geq 0 \\ x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow x \geq -\frac{1}{2}, x \neq 0$. Suy ra tập xác định là $D = [-\frac{1}{2}; +\infty) \setminus \{0\}$.

b) ĐKXĐ: $\begin{cases} 2x - 3m + 4 \geq 0 \\ x + m - 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq \frac{3m-4}{2} \\ x \neq 1-m \end{cases}$.

Nếu $1-m \geq \frac{3m-4}{2} \Leftrightarrow m \leq \frac{6}{5}$ thì tập xác định $D = [\frac{3m-4}{2}; +\infty) \setminus \{1-m\}$. Với $m \leq \frac{6}{5}$, không thể có $D = [0; +\infty)$ vì bỏ đi điểm $x=1-m$.

Nếu $m > \frac{6}{5}$ thì $1-m < \frac{3m-4}{2}$, tập xác định $D = [\frac{3m-4}{2}; +\infty)$. Để $D = [0; +\infty)$ thì $\frac{3m-4}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{4}{3}$ (thỏa mãn $m > \frac{6}{5}$). Vậy $m = \frac{4}{3}$.

Bài tập tự luyện

Bài 1.

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = \frac{x^{2} + 5}{x^{2} + 3 x - 4}$

b) $y = \frac{2 x + 3}{(x + 1)(x^{2} + 5 x + 6)}$

Hướng dẫn giải

a) ĐKXĐ: $x^{2} + 3x - 4 \neq 0$ nên $\begin{cases} x \neq 1 \\ x \neq -4 \end{cases}$. Suy ra tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{1; -4\}$.

b) ĐKXĐ: $(x+1)(x^{2}+5x+6) \neq 0$ nên $\begin{cases} x \neq -1 \\ x \neq -2 \\ x \neq -3 \end{cases}$. Suy ra tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{-1; -2; -3\}$.

Bài 2.

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = \frac{2 x^{2} + 3 x + 2}{x^{3} + x^{2} - 5 x - 2}$

b) $y = \frac{x + 6}{(x - 1)^{2} - 2 x^{2}}$

Hướng dẫn giải

a) ĐKXĐ: $x^{3} + x^{2} - 5x - 2 \neq 0$ nên $\begin{cases} x \neq 2 \\ x \neq \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2} \end{cases}$. Suy ra tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{2; \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}\}$.

b) ĐKXĐ: $(x-1)^{2} - 2x^{2} \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{7}}{2}$ và $x \neq \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{7}}{2}$. Suy ra tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{\frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{7}}{2}; \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{7}}{2}\}$.

Bài 3.

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = \frac{x + 1}{\sqrt{3 x + 2}}$

b) $y = \frac{\sqrt{x + 2}}{(x + 3) \sqrt{x^{2} - 4 x + 4}}$

Hướng dẫn giải

a) ĐKXĐ: $3x + 2 > 0$ hay $x > -\frac{2}{3}$. Suy ra tập xác định của hàm số là $D = \left(-\frac{2}{3}; \infty\right)$.

b) ĐKXĐ: $\begin{cases} x + 3 \neq 0 \\ x^{2} - 4x + 4 > 0 \end{cases}$ hay $\begin{cases} x \neq -3 \\ x \neq 2 \end{cases}$. Suy ra tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{2; -3\}$.

Bài 4.

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = \frac{\sqrt{5 - 3 |x|}}{x^{2} + 4 x + 3}$

b) $y = \frac{x + 5}{\sqrt{x^{2} - 25}}$

Hướng dẫn giải

a) ĐKXĐ: $x^{2} + 4x + 3 \neq 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq -1 \\ x \neq -3 \end{cases}$. Suy ra tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{-1; -3\}$.

b) ĐKXĐ: $x^{2} - 25 > 0$ nên $x < -5$ hoặc $x > 5$. Suy ra tập xác định của hàm số là $D = (-\infty; -5) \cup (5; +\infty)$.

Bài 5.

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = \sqrt{x + 5} - \sqrt{x + 7}$

b) $y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 1}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Hướng dẫn giải

a) ĐKXĐ: $\begin{cases} x + 5 \geq 0 \\ x + 7 \geq 0 \end{cases}$ nên $x \geq -5$. Suy ra tập xác định của hàm số là $D = [-5; +\infty)$.

b) ĐKXĐ: $x^{2} - 2x + 3 \neq 0$. Hàm số $x^{2} - 2x + 3 > 0 \forall x$. Suy ra tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Bài 6.

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = \begin{cases} \frac{x}{3} & \text{khi } x \geq 1 \\ \sqrt{x + 2} & \text{khi } x < 1 \end{cases}$

b) $y = \begin{cases} \frac{1}{x - 5} & \text{khi } x \geq 1 \\ \sqrt{x - 5} & \text{khi } x < 1 \end{cases}$

Hướng dẫn giải (chưa có trong raw data, bỏ qua)

Bài 7.

Cho hàm số $y = \sqrt{2 x - 3 m + 4} + \frac{x}{x + m - 1}$ với m là tham số.

a) Tìm tập xác định của hàm số khi m = 2.

b) Tìm m để hàm số có tập xác định là $[0; +\infty)$.

Hướng dẫn giải (chưa có trong raw data, bỏ qua)

Bài 8.

Tìm m để hàm số $y = \sqrt{x^{2} - m x + 3}$ xác định trên (0; 3).

Hướng dẫn giải (chưa có trong raw data, bỏ qua)

Bài 9.

Tìm m để hàm số $y = \sqrt{x - m + 1} + \frac{2 x}{\sqrt{- x + 2 m}}$ xác định trên $(-1; 3)$.

Hướng dẫn giải (chưa có trong raw data, bỏ qua)

Bài 10.

Tìm m để hàm số $y = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - m + 1}}$ xác định trên $[0; +\infty)$.

Hướng dẫn giải (chưa có trong raw data, bỏ qua)